Question

12．如圖，三個(gè)內(nèi)角∠A、∠B、∠C均為45°．
（1）求證：CD⊥AB；
（2）連接BD和AC，判斷BD和AC的關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 （1）延長CD與AB交與點(diǎn)E，由∠B、∠C均為45°，利用三角形的內(nèi)角和定理可知∠BEC=90°，得CD⊥AB；
（2）延長BD與AC交于點(diǎn)F，首先證明Rt△AEC≌Rt△DEB，由全等三角形的性質(zhì)易得BD=AC，∠EBD=∠ECA，易得∠BED=∠CFD=90°，得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，延長CD與AB交與點(diǎn)E，
∵∠B=∠C=45°，
∴∠BEC=90°，
∴CD⊥AB；

（2）BD=AC且BD⊥AC．
延長BD與AC交于點(diǎn)F，
∵∠CED=∠AED=90°，∠BAD=45°，
∴∠ADE=45°，
∴AE=DE，
∵∠ABC=∠BCE=45°，
∴BE=CE，
在Rt△AEC與Rt△DEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}\\{∠AED=∠DEB}\\{CE=BE}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEC≌Rt△DEB，
∴BD=AC，∠EBD=∠ECA，
∵∠BDE=∠CDF，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∴BD⊥AC，
∴BD=AC且BD⊥AC．

點(diǎn)評 本題主要考查了垂直的定義，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)及判定定理，作出適當(dāng)?shù)妮o助線，證明三角形全等是解答此題的關(guān)鍵．