Question

11．如圖在△ABC中，∠BAC=120°，以BC邊向形外作等邊△BCD，把△ABC繞著點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)60°后得到△ECD，此時(shí)恰好A、C、E三點(diǎn)共線，連接AD和BC相交于點(diǎn)F．若AB=5，ED=8，則CF的長(zhǎng)是$\frac{21}{8}$．

Answer 1

分析 過(guò)D作DM⊥AE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AB=CE=5，AD=DE，∠ADE=60°，于是得到△ADE是等邊三角形，推出AD=DE=AE=AC+CE=8，由于DM⊥AE，得到AM=4，MD=4$\sqrt{3}$，求出CD=7，由△BCD是等邊三角形，得出BC=CD=7，由于∠BAC=120°，∠DAE=60°，得到AF是∠BAC的角平分線，于是得到$\frac{AB}{AC}=\frac{BF}{CF}$，解得BF=$\frac{5}{3}CF$，于是求得結(jié)論．

解答 解：過(guò)D作DM⊥AE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AB=CE=5，AD=DE，∠ADE=60°，
∴△ADE是等邊三角形，
∴AD=DE=AE=AC+CE=8，
∵DM⊥AE，
∴AM=4，MD=4$\sqrt{3}$，
∴CM=1，
∴CD=7，
∵△BCD是等邊三角形，
∴BC=CD=7，
∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，
∴∠DAE=∠BAD，
∴AF是∠BAC的角平分線，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BF}{CF}$，
∴BF=$\frac{5}{3}CF$，
∵BF+CF=7，
∴CF=$\frac{21}{8}$．
故答案為：$\frac{21}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．