Question

10．如圖，點A、B的坐標(biāo)分別為（0，2），（3，4），點P為x軸上的一點，若點B關(guān)于直線AP的對稱點B′恰好落在x軸上，則點P的坐標(biāo)為（$\frac{4}{3}，0$）．

Answer 1

分析 先用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，由對稱的性質(zhì)得出AP⊥AB，求出直線AP的解析式，然后求出直線AP與x軸的交點即可．

解答 方法一：解：設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，
把A（0，2），B（3，4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{3k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{2}{3}$，b=2，
∴直線AB的解析式為：y=$\frac{2}{3}$x+2；
∵點B與B′關(guān)于直線AP對稱，設(shè)B′坐標(biāo)為（a，0）
∴線段BB′的中點坐標(biāo)為（$\frac{a+3}{2}$，2）
∵線段BB′的中點在直線AP上，且A點坐標(biāo)為（0，2）
∴A點為線段BB′的中點，即A、B、B′三點共線
∴AP⊥AB，
∴設(shè)直線AP的解析式為：y=-$\frac{3}{2}$x+c，
把點A（0，2）代入得：c=2，
∴直線AP的解析式為：y=-$\frac{3}{2}$x+2，
當(dāng)y=0時，-$\frac{3}{2}$x+2=0，
解得：x=$\frac{4}{3}$，
∴點P的坐標(biāo)為：（$\frac{4}{3}，0$）；
故答案為：（$\frac{4}{3}，0$）．
方法二：
解：如圖，連接AB、AB′
∵A（0，2），B（3，4）
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$
∵點B與B′關(guān)于直線AP對稱
∴AB′=AB=$\sqrt{13}$，
在Rt△AOB′中，B′O=$\sqrt{AB{′}^{2}-A{O}^{2}}$=3
∴B′點坐標(biāo)為（-3，0）
設(shè)直線BB′方程為y=kx+b
將B（3，4），B′（-3，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=4}\\{-3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得k=$\frac{2}{3}$，b=2
∴直線BB′的解析式為：y=$\frac{2}{3}$x+2，
∴直線AP的解析式為：y=-$\frac{3}{2}$x+2，
當(dāng)y_AP=0時，-$\frac{3}{2}$x+2=0，
解得：x=$\frac{4}{3}$，
∴點P的坐標(biāo)為：（$\frac{4}{3}，0$）；
故答案為：（$\frac{4}{3}，0$）．

點評 本題是一次函數(shù)綜合題目，考查了用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式、軸對稱的性質(zhì)、垂線的關(guān)系等知識；本題有一定難度，綜合性強，由直線AB的解析式進一步求出直線AP的解析式是解決問題的關(guān)鍵．