Question

13．如圖1，已知正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是AC上一點(diǎn)，連接EB，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BE，垂足為M，AM交BD于點(diǎn)F．
（1）求證：OE=OF；
（2）如圖2，若點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，AM⊥BE于點(diǎn)M，交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，其它條件不變，則結(jié)論“OE=OF”還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）如圖3，若點(diǎn)E在CA的延長(zhǎng)線上，AM⊥BE于點(diǎn)M，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，請(qǐng)你將圖形補(bǔ)充完整，其他條件不變，則結(jié)論“OE=OF”還成立嗎？
（提醒：先畫(huà)圖再回答、不需要說(shuō)明理由；只回答、不畫(huà)圖不得分）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)對(duì)角線垂直且平分，得到OB=OA，又因?yàn)锳M⊥BE，所以∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，從而求證出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE=OF．
（2）根據(jù)第一步得到的結(jié)果以及正方形的性質(zhì)得到OB=OA，再根據(jù)已知條件求證出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE=OF．
（3）如圖3，同理可得OE=OF．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形．
∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．
又∵AM⊥BE，
∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，
∴∠MEA=∠AFO．
∴△BOE≌△AOF．
∴OE=OF．

（2）解：OE=OF成立．
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．
又∵AM⊥BE，
∴∠F+∠MBF=90°，
∵∠E+∠OBE=90°，
又∵∠MBF=∠OBE，
∴∠F=∠E．
∴△BOE≌△AOF．
∴OE=OF．

（3）解：OE=OF成立．
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．
又∵AM⊥BE，
∴∠F+∠MAM=90°，
∵∠F+∠OAF=90°，
又∵∠MAM=∠OAF，
∴∠F=∠E．
∴△BOE≌△AOF．
∴OE=OF．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定，并運(yùn)用了類比的思想，三個(gè)問(wèn)題都是證明△BOE≌△AOF解決問(wèn)題．