Question

8．如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，AD⊥BC于點D，點M是AB邊上的點，且BM=$\frac{1}{3}$AB，過點M作MN∥BC交AD于點E，交AC于點N．
（1）求ME的長；
（2）將圖中的△AMN以每秒1個單位長度的速度沿線段AB從點A向點B平移，當點A與點B重合時停止移動，△AMN運動的時間為t秒，△AMN與四邊形BDEM重疊部分的面積為s，請直接寫出s與t之間的函數(shù)關系式，并寫出相應t的取值范圍；
（3）將圖中的△AMN繞點E逆時針旋轉，設直線AE與直線BC交于點O．在△AMN旋轉過程中，是否存在這樣的點O，使△BOE為等腰三角形？若存在，請求出此時△AMN繞E逆時針旋轉的旋轉角α的大�。�0°＜α≤180°）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質(zhì)得到三角形的高，再根據(jù)三角形相似得到比例式求出AM，代入含30°的直角三角形中計算即可；
（2）分三種情況討論，根據(jù)三角形相似，計算出相應圖形的底和高，代入相應圖形的面積公式即可得到結果；
（3）當△AMN繞點O①順時針旋轉15°，②順時針旋轉60°，③逆時針旋轉30°，④逆時針旋轉75°時，△CPQ為等腰三角形．

解答 解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
又∵AD⊥BC，
∴$∠MAE=\frac{1}{2}∠BAC=30°$，
∴MN∥BC，AD⊥BC，
∴∠AEM=∠ADB=90°，
∴$ME=\frac{1}{2}AM$．
∵△ABC的邊長為6，BM=$\frac{1}{3}$AB，
∴BM=2，
∴AM=AB-BM=6-2=4，
∴ME=2；
（2）$s=\frac{{\sqrt{3}}}{8}{t^2}+\sqrt{3}t$（0≤t≤2）；  
$s=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}{t^2}+2\sqrt{3}t+\frac{{\sqrt{3}}}{2}$（2＜t≤3）；
$s=-\sqrt{3}t+5\sqrt{3}$（3＜t≤4）；
$s=\frac{{\sqrt{3}}}{4}{t^2}-3\sqrt{3}t+9\sqrt{3}$（4＜t≤6）．
（3）由題意得：∠MEB=∠MBE=∠DBE=30°，∠BED=60°．
（�。┊擝E=BO，且點O在點B右邊時（答圖1），

∵BE=BO，
∴∠BEO=∠BOE，
∵∠EBD=30°，
∴∠BEO=75°，
∴∠DEO=15°，
∴α=15°，
當BE=BO，且點O在點B左邊時（答圖2），

∵OB=EB，
∴∠BOE=∠BEO=15°，
∴∠OEM=15°，
∴α=90°+15°=105°
（ⅱ）當EB=EO時（答圖3），

∵EB=EO，
∴∠EBO=∠EOB=30°，
∴∠BEO=120°，
∴∠DEO=60°，
∴α=60°． 
（ⅲ）當OB=OE時（答圖4），

∵OB=OE，
∴∠BEO=∠EBO=30°，
∴α=90°+30°+30°=150°．
綜上所述：存在這樣的點O，使△BOE為等腰三角形，
此時旋轉角α的大小為15°或105°或60°或150°．

點評 本題考查了圖形的變換-平移，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積的計算，注意分類討論是解題的關鍵．