Question

已知如圖，直線y=

3

3

x+2與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點(diǎn)Q，使以O(shè)、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則Q的坐標(biāo)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,分類討論

分析：因?yàn)榱庑蔚乃膫�(gè)邊相等，要使以點(diǎn)O、B、P、Q為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為菱形，根據(jù)OB為菱形的對(duì)角線，OB為菱形的邊兩種情況，分別求出符合條件的N點(diǎn)坐標(biāo)．．

解答：解：令y=

3

3

x+2=0，
解得x=-2

3

，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2

3

，0），
令x=0，y=2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），
①當(dāng)OB為菱形的對(duì)角線時(shí)，如圖1，由OB=2

3

可知，P點(diǎn)橫坐標(biāo)為-

3

，
代入直線y=

3

3

x+2中，得M點(diǎn)縱坐標(biāo)為1，
∵M(jìn)、N關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴Q（-

3

，-1）；

②當(dāng)OB為菱形的邊時(shí)，如圖2，
作PM⊥交x軸于P點(diǎn)，
∵OB=2

3

，OA=2，
∴AB=

(2 3 )2+22

=4，
由△P₂MB∽△AOB，
得

OA

P2M

=

AB

P2B

=

OB

MB

，即

2

P2M

=

4

2 3

=

2 3

MB

得P₂M=

3

，MB=3，
∴Q₂坐標(biāo)為（-3，-

3

）
同理可得Q₁（3，

3

），Q₃（-

3

，3），
故答案為：(-

3

，-1)或(3，

3

)或(-

3

，3)或(-3，-

3

)

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合運(yùn)用，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)OB為菱形的對(duì)角線菱形的邊，分類討論求解．