Question

20．如圖1所示的紙杯，經(jīng)測量（接縫處忽略不計），紙杯的杯口直徑為10cm，底面直徑為7.5cm，母線長為10cm，該紙杯的側面展開如圖2所示．
（1）紙杯的側面展開圖2中杯口所在圓的半徑OA的長為40cm；
（2）若一只小蟲從紙杯底面的點C出發(fā)，沿紙杯側面爬行一周（如圖3）回到點A，則小蟲爬行的最短路程為28cm．（精確到1cm）

Answer 1

分析 （1）設∠O的度數(shù)是n，根據(jù)弧長公式得出10π=$\frac{nπ•OA}{180}$，7.5π=$\frac{nπ•（OA-10）}{180}$，求出OA和n即可；
（2）沿CA剪開，得出扇形AOA′，連接CA′，則CA′的長度是小蟲爬行的最短路程，過C作CE⊥OA′于E，求出CE和OE，求出A′E，根據(jù)勾股定理求出CA′即可；

解答 解：（1）設∠O的度數(shù)是n，
則10π=$\frac{nπ•OA}{180}$，7.5π=$\frac{nπ•（OA-10）}{180}$，
解得：OA=40cm，n=45°；

（2）在圖2中，沿CA剪開，得出扇形AOA′，連接CA′，則CA′的長度是小蟲爬行的最短路程，
過C作CE⊥OA′于E，
在Rt△COE中，OC=30，∠O=45°，
∴CE=15$\sqrt{2}$，OE=15$\sqrt{2}$，
∴A′E=40-15$\sqrt{2}$，
在Rt△CEA′中，CA′=$\sqrt{{（40-15\sqrt{2}）}^{2}{+（15\sqrt{2}）}^{2}}$≈28cm．
故答案為：40，28．

點評 本題考查了平面展開-最短路線問題，矩形的性質，勾股定理，含45度角的直角三角形等知識點的綜合運用，畫出平面展開圖是解答此題的關鍵．