Question

20．如圖，點(diǎn)P是Rt△ABC斜邊AC的中點(diǎn)，動點(diǎn)E、F分別在AB、BC上且保持∠EPF=45°，若以P為圓心的圓與AB相切，試探究動直線EF與⊙P的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 由題意可證明△PEB∽△FPC，△PEB∽△FPC，則得出點(diǎn)P到AB和EF的距離相等，即可得出結(jié)論．

解答 解：直線EF與⊙P相切，理由如下：
在△PEB和△FPC中，∠EPB+∠FPC=135°，∠EPB+∠PEB=135°，
∴∠FPC=∠PEB．
又∵∠B=∠C，
∴△PEB∽△FPC．
∴$\frac{BE}{CP}$=$\frac{EP}{CF}$．
∵△PEB∽△FPC，
∴$\frac{BE}{CP}$=$\frac{PE}{PF}$．
∴$\frac{BE}{BP}$=$\frac{PE}{P}$．
又∵∠B=∠EOF=45°，
∴△BEP∽△PEF．
∴∠BEP=∠PEF．
∴點(diǎn)P到AB和EF的距離相等．
∵AB與⊙O相切，
∴點(diǎn)O到EF的距離等于⊙O的半徑．
∴EF與⊙P相切．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及切線的性質(zhì)，是一道綜合題，難度偏大．