Question

14．如圖，矩形ABCD中，AB=nAD，點E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上且不與頂點A，B，D重合，∠AEF=∠BCE，⊙O過A，E，F(xiàn)三點．
（1）求證：⊙O與CE相切與點E；
（2）如圖1，若AF=2FD且∠AEF=30°，求n的值；
（3）如圖2．若EF=EC且⊙O與邊CD相切，求n的值．

Answer 1

分析 （1）只需要證明∠FEC=90°即可，由于∠AEF=∠BCE，∠BEC+∠BCE=90°，所以∠BEC+∠AEF=90°，
（2）設(shè)FD=x，AF=2x，所以BC=3x，根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)值即可求出BE、AB的長度，從而可求出n的值．
（3）設(shè)切點為G，連OG并延長交AE于點H；，先證明△AEF≌△BCE，然后根據(jù)AB=nAD，可設(shè)BC=y，然后用y表示OH、OE，HE的長度，根據(jù)勾股定理即可求出n的值．

解答 解：（1）證明：在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°，
∴圓心O是EF的中點；
∵∠AEF=∠BCE，∠BEC+∠BCE=90°，
∴∠BEC+∠AEF=90°，
即∠FEC=90°，
∴圓O與CE相切與點E；

（2）如圖1，設(shè)FD=x，AF=2x；
則BC=3x；
∵∠AEF=30°，
∴AE=AFtan 30°=2$\sqrt{3}$x，
∵∠BCE=30°，
∴BE=BC•tan30°=$\sqrt{3}$x，
∴AB=3$\sqrt{3}$x，
∴n=$\frac{3\sqrt{3}x}{3x}$=$\sqrt{3}$

（3）設(shè)切點為G，連OG并延長交AE于點H；
在△AEF與△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠B}\\{∠AEF=∠BCE}\\{EF=EC}\end{array}\right.$
∴△AEF≌△BCE（AAS）
設(shè)BC=AE=y，
則BE=AF=（n-1）y，
HE=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$y
∴由切線的性質(zhì)可知：OG=OE=OF，
∴由中位線的性質(zhì)可知：OH=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{n-1}{2}y$
∴OE=OG=y-$\frac{n-1}{2}$y=$\frac{3-n}{2}$y，
∴Rt△OHE中，由勾股定理可知：
（$\frac{3-n}{2}$）²=（$\frac{n-1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）²，
解得：n=$\frac{7}{4}$，

點評 本題考查圓的綜合問題，涉及圓周角定理，勾股定理定理，矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，考查學(xué)生綜合運用知識的能力．