Question

9．（1）如圖1，銳角△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE交于F，連DE，求證：DF•DA=DB•DC；
（2）如圖2，若∠BAC=90°，AD⊥BC于D，F(xiàn)為線段AD上一點(diǎn)，在AD延長線上找一點(diǎn)G使AD²=DF•DG，請畫出圖形找出點(diǎn)G并加以證明；
（3）如圖3，在（1）的條件下，若∠ABC=45°，EF=1，EC=3，直接寫出BD長．

Answer 1

分析 （1）只要證明△DBF∽△DAC即可解決問題；
（2）如圖2中，在DC上截取DM，使得DM=DA，連接FM、AM，作MN⊥FM交AD的延長線于G．則AD²=DF•DG．只要證明△DMF∽△DGM即可解決問題；
（3）如圖3中，連接FC．首先證明△BDF≌△ADC，推出DF=DC，想辦法求出DF、DC，設(shè)BD=AD=y，則AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{5+{y}^{2}}$，由△EAF∽△DAC，可得$\frac{AF}{AC}$=$\frac{EF}{DC}$，列出方程即可解決問題；

解答 （1）證明：如圖1中，

∵AD、AE是△ABC的高，
∴∠ADC=∠BDF=∠BEC=90°，
∴∠DBF+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，
∴∠DBF=∠DAC，
∴△DBF∽△DAC，
∴$\frac{BD}{AD}$=$\frac{DF}{DC}$，
∴DF•DA=DB•DC．

（2）解：如圖2中，在DC上截取DM，使得DM=DA，
連接FM、AM，作MN⊥FM交AD的延長線于G．則AD²=DF•DG．

理由：∵∠MDF=∠MDG=∠FMG=90°，
∴∠DMF+∠DMG=90°，∠DMG+∠G=90°，
∴∠DMF=∠G，
∴△DMF∽△DGM，
∴$\frac{DM}{DG}$=$\frac{DF}{DM}$，
∴DM²=DF•DG，
∵AD=DM，
∴AD²=DF•DG．
（3）解：如圖3中，連接FC．

∵∠ABC=45°，∠ADB=90°，
∴BD=AD，
∵∠DBF=∠CAD（已證），∠BDF=∠ADC=90°，
∴△BDF≌△ADC，
∴DF=DC，
在Rt△EFC中，F(xiàn)C=$\sqrt{E{F}^{2}+E{C}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴DF=DC=$\sqrt{5}$，設(shè)BD=AD=y，則AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{5+{y}^{2}}$，
∵△EAF∽△DAC，
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{EF}{DC}$，
∴$\frac{y-\sqrt{5}}{\sqrt{5+{y}^{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
解得y=2$\sqrt{5}$或$\frac{\sqrt{5}}{2}$（舍棄），
∴BD=2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查相似形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學(xué)會添加輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．