Question

17．已知E是矩形ABCD對角線AC上一點，且BE=$\sqrt{2}$AE，求證：∠CDE=2∠ABE．

Answer 1

分析 延長BE交CD的延長線于點F，取EF的中點G，連接DG、CG，可得△BAE∽△FCE，根據(jù)三角形的相似得出EF和CE的關系，進而證明△ABE∽△GCE，得出∠ABE=∠ECG，證得點A、B、C、G四點共圓，根據(jù)點A、B、C、D四點共圓可得A、B、C、D、G五點共圓，得出∠BGD=∠BAD=90°，GD為EF的中垂線，進而證得：∠CDE=2∠ABE．

解答 證明：延長BE交CD的延長線于點F，取EF的中點G，連接DG、CG，
則△BAE∽△FCE，
∴$\frac{EF}{CE}$=$\frac{BE}{AE}$=$\sqrt{2}$，
∴EF=$\sqrt{2}$CE，
∴$\frac{CE}{EG}$=$\frac{CE}{\frac{\sqrt{2}}{2}CE}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{CE}{EG}$=$\frac{BE}{AE}$，
∴△ABE∽△GCE，
∴∠ABE=∠ECG，
則點A、B、C、G四點共圓，
∵點A、B、C、D四點共圓，
∴點A、B、C、D、G五點共圓，
∴∠BGD=∠BAD=90°，
∴DG垂直平分EF，
∴DE=DF，
∴∠DEF=∠F，
∴∠CDE=∠DEF+∠F=2∠F=2∠ABE．

點評 本題考查了四點共圓的知識：將四點連成一個四邊形，若對角互補，那么這四點共圓，解答本題的關鍵是根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出∠ABE=∠ECG，證得點A、B、C、G四點共圓．