Question

2．如圖，已知一個(gè)正比例函數(shù)與一個(gè)一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A（3，4），且OA=OB
（1）求兩個(gè)函數(shù)的解析式；   
（2）直線AB交x軸于點(diǎn)C，求△AOC的面積；
（3）在x軸上存在一點(diǎn)p，使△AOP是等腰三角形，直接寫出所有符合要求的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法，將A，B兩點(diǎn)分別代入求出即可；
（2）△AOB的高是點(diǎn)A的橫坐標(biāo)3，底邊是線段OB的長，所以利用函數(shù)解析式求出與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出面積，
（3）已知等腰三角形POA中的一邊OA，分1）OA是底邊；2）OA是腰，且A是頂角的頂點(diǎn)；3）OA是腰，且O是頂角的頂點(diǎn)．三種情況進(jìn)行討論．

解答 解：（1）設(shè)直線OA為y=kx．
∵y=kx經(jīng)過點(diǎn)（3，4），
∴3k=4，k=$\frac{4}{3}$，
∴y=$\frac{4}{3}$x．
設(shè)直線AB為y=ax+b，
∵y=ax+b經(jīng)過（3，4），（0，-5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-5}\\{3a+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
∴y=3x-5．

（2）∵直線y=3x-5與x軸交于C（$\frac{5}{3}$，0），
S_△AOC=$\frac{1}{2}$|OC|×3=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{3}$×3=2.5；

（3）把（3，4）代入y₁=k₁x得到：3k₁=4，
解得：k₁=$\frac{4}{3}$，
當(dāng)OA是底邊時(shí)，OA的中點(diǎn)是（$\frac{3}{2}$，2），設(shè)過OA的中點(diǎn)且與OA垂直的直線的解析式是：y=-$\frac{3}{4}$x+b，
根據(jù)題意得：b=$\frac{25}{8}$，
直線的解析式是：y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{25}{8}$，
當(dāng)y=0時(shí)，x=$\frac{25}{6}$，
則P的坐標(biāo)是（$\frac{25}{6}$，0）；
當(dāng)OA是腰，O是頂角的頂點(diǎn)時(shí)，OP=OA=5，則P的坐標(biāo)是（5，0）或（-5，0）；
當(dāng)OA是腰，A是頂角的頂點(diǎn)時(shí)，AP=AO，則P與O關(guān)于x=3對(duì)稱，則P的坐標(biāo)是（6，0）．
則P的坐標(biāo)是：（$\frac{25}{6}$，0）或（5，0）或（-5，0）或（6，0）．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了用待定系數(shù)法解函數(shù)解析式和一次函數(shù)圖象的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分類討論得出是解題關(guān)鍵．