Question

18．已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC邊上任一點，∠ADE=90°，AD=DE．
（1）如圖（a）所示，當點D與BC邊的中點O重合，點E與C重合時，$\frac{B{D}^{2}+C{D}^{2}}{A{E}^{2}}$的值為1；
（2）如圖（b）所示，當點D在BC邊上運動時，$\frac{B{D}^{2}+C{D}^{2}}{A{E}^{2}}$的值等于1，請?zhí)羁詹⒆C明；
（3）如圖（c）所示，當點D在CB的延長線上運動時，線段BD、CD、AE之間的數(shù)量關(guān)系是$\frac{B{D}^{2}+C{D}^{2}}{A{E}^{2}}$=1（只寫結(jié)論，不需證明）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)中點的定義和勾股定理解答問題；
（2）如圖（b），過點A作AM⊥BC于點M．構(gòu)建直角△ABM、△ADM，設BM=x，BD=y，則BM=AM=MC=x，CD=2x-y，利用勾股定理得到BD²+CD²=AE²=4x²-4xy+2y²，易得到：$\frac{B{D}^{2}+C{D}^{2}}{A{E}^{2}}$=1；
（3）解答過程同（2），結(jié)論同（1）、（2）．

解答 解：（1）∵點D是BC的中點，AB=AC，
∴AD⊥BC，BD=CD=AD，
∴BD²+CD²=CD²+AD²=AC²，即BD²+CD²=AE²，
∴$\frac{B{D}^{2}+C{D}^{2}}{A{E}^{2}}$=1．
故答案是：1；

（2）如圖（b），過點A作AM⊥BC于點M．
設BM=x，BD=y，則BM=AM=MC=x，CD=2x-y，
則BD²+CD²=y²+（2x-y）²=4x²-4xy+2y²．
∵AD²=AM²+DM²，DM=BM-BD=x-y，
∴AD²=x²+（x-y）²=2x²-2xy+y²．
又∵AE²=2AD²，
∴AE²=4x²-4xy+2y²．
∴BD²+CD²=AE²，
∴$\frac{B{D}^{2}+C{D}^{2}}{A{E}^{2}}$=1．
故答案是：1；

（3）$\frac{B{D}^{2}+C{D}^{2}}{A{E}^{2}}$=1
理由如下：如圖（c），過點A作AM⊥BC于點M．
設BM=x，BD=y，則BM=AM=MC=x，CD=2x+y，
則BD²+CD²=y²+（2x+y）²=4x²+4xy+2y²．
∵AD²=AM²+DM²，DM=BM+BD=x+y，
∴AD²=x²+（x+y）²=2x²+2xy+y²．
又∵AE²=2AD²，
∴AE²=4x²+4xy+2y²．
∴BD²+CD²=AE²，
∴$\frac{B{D}^{2}+C{D}^{2}}{A{E}^{2}}$=1．
故答案是：$\frac{B{D}^{2}+C{D}^{2}}{A{E}^{2}}$=1．

點評 本題考查了勾股定理，等腰直角三角形．解此類題目要注意將線段的問題轉(zhuǎn)化成三角形的問題再進行計算．