Question

在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，CG⊥AB于點G，對角線AC⊥BD交于點O，EF是中位線．求證：CG=EF．

Answer 1

考點：等腰梯形的性質(zhì),梯形中位線定理

專題：

分析：作CH∥BD，交AB的延長線于H，得出四邊形BDCH是平行四邊形，同時得出∠ACH=∠AOB=90°，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得出AC=DB，從而證得AC=CH，證得△ACH是等腰直角三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可證得CG=

1

2

AH=

1

2

（AB+BH）=

1

2

（AB+DC），根據(jù)梯形的中位線定理得出EF=

1

2

（AB+DC），從而證得CG=EF．

解答：證明：如圖，作CH∥BD，交AB的延長線于H，
∴∠ACH=∠AOB，
∵AC⊥BD，
∴∠ACH=90°，
∵AB∥DC，
∴四邊形BDCH是平行四邊形，
∴DC=BH，BD=CH，
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
∴AC=CH，
∴△ACH是等腰直角三角形，
∵CG⊥AB，
∴CG是等腰直角三角形ACH斜邊的中點，
∴CG=

1

2

AH=

1

2

（AB+BH）=

1

2

（AB+DC），
∵EF是中位線．
∴EF=

1

2

（AB+DC），
∴CG=EF．

點評：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，梯形的中位線定理等，作出輔助線構(gòu)建平行四邊形是本題的關(guān)鍵．