Question

11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l經(jīng)過原點，且與y軸正半軸所夾的銳角為60°，過點A（0，1）作y軸的垂線l于點B，過點B作作直線l的垂線交y軸于點A₁，以A₁B、AB為鄰邊作平行四邊形A₁BAC₁；過點A₁作y軸的垂線交直線l于點B₁，過點B₁作直線l的垂線交y軸于點A₂，以A₂B₁．A₁B₁為鄰邊作平行四邊形A₂B₁A₁C₂；…；則C₁的坐標(biāo)為（-$\sqrt{3}$，4），按此作法繼續(xù)下去，則C_n的坐標(biāo)是（-$\sqrt{3}$×4^n-1，4ⁿ）．

Answer 1

分析 先求出直線l的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，設(shè)B點坐標(biāo)為（x，1），根據(jù)直線l經(jīng)過點B，求出B點坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，1），解Rt△A₁AB，得出AA₁=3，OA₁=4，由平行四邊形的性質(zhì)得出A₁C₁=AB=$\sqrt{3}$，則C₁點的坐標(biāo)為（-$\sqrt{3}$，4），即（-$\sqrt{3}$×4⁰，4¹）；根據(jù)直線l經(jīng)過點B₁，求出B₁點坐標(biāo)為（4$\sqrt{3}$，4），解Rt△A₂A₁B₁，得出A₁A₂=12，OA₂=16，由平行四邊形的性質(zhì)得出A₂C₂=A₁B₁=4$\sqrt{3}$，則C₂點的坐標(biāo)為（-4$\sqrt{3}$，16），即（-$\sqrt{3}$×4¹，4²）；同理，可得C₃點的坐標(biāo)為（-16$\sqrt{3}$，64），即（-$\sqrt{3}$×4²，4³）；進而得出規(guī)律，求得C_n的坐標(biāo)是（-$\sqrt{3}$×4^n-1，4ⁿ）．

解答 解：∵直線l經(jīng)過原點，且與y軸正半軸所夾的銳角為60°，
∴直線l的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
∵AB⊥y軸，點A（0，1），
∴可設(shè)B點坐標(biāo)為（x，1），
將B（x，1）代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，得1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，解得x=$\sqrt{3}$，
∴B點坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，1），AB=$\sqrt{3}$．在Rt△A₁AB中，∠AA₁B=90°-60°=30°，∠A₁AB=90°，
∴AA₁=$\sqrt{3}$AB=3，OA₁=OA+AA₁=1+3=4，
∵?ABA₁C₁中，A₁C₁=AB=$\sqrt{3}$，
∴C₁點的坐標(biāo)為（-$\sqrt{3}$，4），即（-$\sqrt{3}$×4⁰，4¹）；
由$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=4，解得x=4$\sqrt{3}$，
∴B₁點坐標(biāo)為（4$\sqrt{3}$，4），A₁B₁=4$\sqrt{3}$．
在Rt△A₂A₁B₁中，∠A₁A₂B₁=30°，∠A₂A₁B₁=90°，
∴A₁A₂=$\sqrt{3}$A₁B₁=12，OA₂=OA₁+A₁A₂=4+12=16，
∵?A₁B₁A₂C₂中，A₂C₂=A₁B₁=4$\sqrt{3}$，
∴C₂點的坐標(biāo)為（-4$\sqrt{3}$，16），即（-$\sqrt{3}$×4¹，4²）；
同理，可得C₃點的坐標(biāo)為（-16$\sqrt{3}$，64），即（-$\sqrt{3}$×4²，4³）；
以此類推，則C_n的坐標(biāo)是（-$\sqrt{3}$×4^n-1，4ⁿ）．
故答案為（-$\sqrt{3}$×4¹，4²），（-$\sqrt{3}$×4^n-1，4ⁿ）．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，先分別求出C₁、C₂、C₃點的坐標(biāo)，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．