Question

20．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$，∠BAC的平分線AG分別交線段DE、BC于點(diǎn)F、G．
（1）求證：△ADF∽△ACG；
（2）聯(lián)結(jié)DG，若∠AGD=∠B，AB=12，AD=4，AE=6，求AG與AF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠ADE=∠C，根據(jù)角平分線的定義得到∠DAF=∠CAG，證明結(jié)論；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．

解答 （1）證明：∵$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$，∠BAC=∠EAD，
∴△ADE∽△ACB，
∴∠ADE=∠C，
∵AG是∠BAC的平分線，
∴∠DAF=∠CAG，
∴△ADF∽△ACG；
（2）解：∵∠AGD=∠B，∠DAF=∠GAB，
∴△ADG∽△AGB，
∴$\frac{AD}{AG}$=$\frac{AG}{AB}$，
∴AG=$\sqrt{AD•AB}$=4$\sqrt{3}$，
∵△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$，
∴AC=$\frac{AD•AB}{AE}$=8，
∵△ADF∽△ACG，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AF}{AG}$，
∴AF=$\frac{AD•AG}{AC}$=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．