Question

13．如圖（1）所示，在△ABC中，AD⊥BC于D．
（1）AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=34°，試求∠DAE的度數(shù)，你能把∠B，∠C，∠DAE的關系規(guī)律化嗎？證明你的結論．
（2）設F為AE上任一點，當它在AE上滑動，AD變成FD，如圖（2）時，結論還成立嗎？當它滑動到AE的延長線上時，AD變成FD，如圖（3）時，結論還成立嗎？證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）如圖（1）先由互余計算出∠BAD=90°-∠B，再根據(jù)三角形內角和定理得到∠BAC=180°-∠B-∠C，而AE平分∠BAC，則∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，于是∠DAE=∠BAE-∠BAD=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），然后把∠B=70°，∠C=34°代入計算即可；
（2）如圖（2），結論成立．作AH⊥BC于H，由（1）得∠HAE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），根據(jù)平行線的性質易得∠DFE=∠HAE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）；如圖（3），結論成立，方法與圖（2）一樣．

解答 解：（1）如圖（1）
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-70°=20°，
∵∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-34°=76°，
而AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×76°=38°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=38°-20°=18°；
∠B，∠C，∠DAE的關系為∠DAE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），理由如下：
∵∠BAD=90°-∠B，
∠BAC=180°-∠B-∠C，
而AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C）=90°-$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$C，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=90°-$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$C+∠B=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）；
（2）如圖（2），結論成立．作AH⊥BC于H，由（1）得∠HAE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），
∵AH∥FD，
∴∠DFE=∠HAE，
∴∠DFE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）；
如圖（3），結論成立．理由如下：
作AH⊥BC于H，由（1）得∠HAE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），
∵AH∥FD，
∴∠DFE=∠HAE，
∴∠DFE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）．

點評 本題考查了三角形內角和定理：三角形內角和是180°．三角形內角和主要用在求三角形中角的度數(shù)．也考查了三角形外角性質．