Question

14．如圖，D、E分別是不等邊三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的邊AB、AC的中點(diǎn)．O是△ABC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，連接OB、OC，點(diǎn)G、F分別是OB、OC的中點(diǎn)，順次連接點(diǎn)D、G、F、E．
（1）求證：四邊形DGFE是平行四邊形；
（2）若四邊形DGFE是菱形，則OA與BC應(yīng)滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？（直接寫出答案，不需要說明理由．）

Answer 1

分析 （1）首先利用三角形中位線的性質(zhì)得出DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，同理，GF∥BC，GF=$\frac{1}{2}$BC，即可得出DE∥GF，DE=GF即可得出四邊形DGFE是平行四邊形；
（2）OA=BC時(shí)四邊形DGFE是菱形，利用（1）中所求，只要鄰邊再相等即可得出答案．

解答 （1）證明：∵D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)．
∴DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC．
同理，GF∥BC，GF=$\frac{1}{2}$BC．
∴DE∥GF，DE=GF．
∴四邊形DEFG是平行四邊形；

（2）OA=BC時(shí)四邊形DGFE是菱形，
理由如下：
連接OA．由（1）得出四邊形DEFG是平行四邊形，
∴AO=BC，
∴GD=$\frac{1}{2}$AO，GF=$\frac{1}{2}$BC，
∴DG=GE，
∴平行四邊形DEFG是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，平行四邊形的判定，菱形的判定以及平行四邊形與菱形的關(guān)系，熟記的定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．