Question

11．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點G，點F是CD上一點，且滿足$\frac{CF}{DF}=\frac{1}{3}$，連接AF并延長交⊙O于點E，連接AD、DE，若CF=3，AF=4．
（1）求證：△ADF∽△AED；
（2）求FG的長；
（3）求tan∠E的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂徑定理可知，∠ADF=∠AED，又因為∵∠FAD=∠DAE，從而可知△ADF∽△AED；
（2）由題意可求出DF的長度為9，從而可求出CD的長度為12，由垂徑定理可知：CG=DG=6，所以FG=CG-CF=3；
（3）由勾股定理可求出AG的長度，由圓周角定理可知∠E=∠ADF，從而可求出tan∠E的值．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，
∴DG=CG，
∴∠ADF=∠AED，
∵∠FAD=∠DAE
∴△ADF∽△AED；
（2）∵$\frac{CF}{DF}=\frac{1}{3}$，CF=3，
∴DF=9，
∴CD=CF+DF=12，
∴CG=DG=6，
∴FG=CG-CF=3，
（3）∵AF=4，F(xiàn)G=3，
∴AG=$\sqrt{A{F^2}-F{G^2}}=\sqrt{7}$，
由（1）可知：∠E=∠ADF，
∴tanE=$tan∠ADF=\frac{AG}{DG}=\frac{{\sqrt{7}}}{6}$

點評 本題考查圓的綜合問題，涉及勾股定理，垂徑定理，相似三角形的判定，銳角三角函數(shù)，本題綜合考查學生靈活運用知識的能力．