Question

15．已知△ADB為直角三角形，且∠BDA=90°，將△ADB沿BD翻折得△CDB，∠BAD的平分線交BD于F，交BC于E，過點C作AB的平行線交AF的延長線于G．
（1）如圖1，若∠ABD=30°，求證；EG=$\frac{3}{2}$AF；
（2）如圖2，若∠ABD=45°，則EG=2AF，請完成證明過程；
（3）在（2）的條件下，如圖（3），在∠FAD的外部作∠DAH，使∠DAH=$\frac{1}{3}$∠FAC，過點B作BM∥AD交AG于點M，點N在AH上，連接MN與BN，若∠BMN與∠EAH互余，△ADB的面積為9，求BN的長．

Answer 1

分析 （1）只要證明F是△ABC重心，可得AF=2EF，再證明AE=EG．
（2）如圖2中，作BM∥AC交AG于M．首先證明點M是EG中點，再證明△BFA≌△BEM，即可解決問題．
（3）如圖3中，連接CM．首先證明A、C、M在以B為圓心的圓上，再證明∠CMN=∠CAN，推出點N在⊙B上，可得BN=BM=AB，由ADB的面積為9，推出AD=BD=3$\sqrt{2}$，可得AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，

由折疊的性質(zhì)可知，∠ABC=2∠ABD=60°，BA=BC，
∴△ABC是等邊三角形，
∵AE是∠BAD的平分線，
∴∠BAE=∠CAE，
∵AB∥CG，
∴∠BAE=∠AGC，
∴∠AGC=∠CAE，
∴CG=AC，
∴CG=AB，
∴EG=AE，
由題意得，點F是△ABC的重心，
∴AE=$\frac{3}{2}$AF，
∴EG=$\frac{3}{2}$AF；

（2）如圖2中，作BM∥AC交AG于M．

∵BD⊥AC，∠ABD=45°，
∴∠BAD=∠BCD=45°，
∵GA平分∠BAC，
∴∠MAB=∠MAC=∠AMB=22.5°，
∴AB=BC=BM，
∵∠ACB=∠CBM=45°，
∴∠BCM=∠BMC=67.5°，
∵∠CEM=∠AEB=67.5°，
∴∠MCE=∠MEC=67.5°，
∴MC=ME，
∵AB∥CG，
∴∠G=∠BAG=22.5°=∠GCM，
∴CM=MG=EM，
∵∠BFE=∠BAF+∠ABD=67.5°，∠AEB=∠BCA+∠EAC=67.5°，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BF=BE，
在△BFA和△BEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BM}\\{∠ABF=∠MBE}\\{BF=BE}\end{array}\right.$，
∴△BFA≌△BEM，
∴AF=EM=MG，
∴EG=2AF，
故答案為2．

（3）如圖3中，連接CM．

∵BM∥AD，由（2）可知，BM=BA=BC，EM=MG，
∴A、C、M在以B為圓心的圓上，
∴∠AMC=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，
∵∠FAC=22.5°，∠CAH=$\frac{1}{3}$∠FAC=7.5°，
∴∠FAH=∠FAC+∠CAH=30°，∠BMN=60°，
∴∠CMN=45°-（60°-22.5°）=7.5°，
∴∠CMN=∠CAN，
∴點N在⊙B上，
∴BN=BM=AB，
∵ADB的面積為9，
∴AD=BD=3$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=6，
∴BN=AB=6．

點評 本題考查幾何變換、等邊三角形的判定和性質(zhì)．等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，四點共圓等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，屬于中考壓軸題．