Question

9．求證：$\sqrt{\frac{{a}^{2}^{2}}{（a-b）^{2}}+\frac{{a}^{2}{c}^{2}}{（a-c）^{2}}+\frac{^{2}{c}^{2}}{（b-c）^{2}}}$是有理數(shù)．

Answer 1

分析 設(shè)t=$\sqrt{\frac{{a}^{2}^{2}}{（a-b）^{2}}+\frac{^{2}{c}^{2}}{（b-c）^{2}}+\frac{{c}^{2}{a}^{2}}{（c-a）^{2}}}$，并設(shè)t是無理數(shù)，然后得到t²也是無理數(shù)，然后根據(jù)a、b、c是三個不同的有理數(shù)得出矛盾，利用反證法求解即可．

解答 解：設(shè)t=$\sqrt{\frac{{a}^{2}^{2}}{（a-b）^{2}}+\frac{^{2}{c}^{2}}{（b-c）^{2}}+\frac{{c}^{2}{a}^{2}}{（c-a）^{2}}}$，并設(shè)t是無理數(shù)，
則有t²=$\frac{{a}^{2}^{2}}{（a-b）^{2}}+\frac{^{2}{c}^{2}}{（b-c）^{2}}+\frac{{c}^{2}{a}^{2}}{（c-a）^{2}}$是無理數(shù)，
∵a、b、c是三個不同的有理數(shù)，
∴$\frac{{a}^{2}^{2}}{（a-b）^{2}}+\frac{^{2}{c}^{2}}{（b-c）^{2}}+\frac{{c}^{2}{a}^{2}}{（c-a）^{2}}$是有理數(shù)，這與t²=$\frac{{a}^{2}^{2}}{（a-b）^{2}}+\frac{^{2}{c}^{2}}{（b-c）^{2}}+\frac{{c}^{2}{a}^{2}}{（c-a）^{2}}$是無理數(shù)矛盾，
∴t是有理數(shù)，
即$\sqrt{\frac{{a}^{2}^{2}}{（a-b）^{2}}+\frac{^{2}{c}^{2}}{（b-c）^{2}}+\frac{{c}^{2}{a}^{2}}{（c-a）^{2}}}$是有理數(shù)．

點評 本題考查了有理數(shù)、無理數(shù)的概念與運算，題目采用了反證法證明，利用反證法證明命題的第一步是假設(shè)命題不成立，難度不是很大．