Question

18．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（4，0）和點(diǎn)B（0，3），點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在折線AOB上，直線CP截△AOB，所得的三角形與△AOB相似，那么點(diǎn)
P的坐標(biāo)是（0，$\frac{3}{2}$），（2，0），（$\frac{7}{8}$，0）．

Answer 1

分析 分類討論：當(dāng)PC∥OA時(shí)，△BPC∽△BOA，易得P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，$\frac{3}{2}$）；當(dāng)PC∥OB時(shí)，△ACP∽△ABO，易得P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）；當(dāng)PC⊥AB時(shí)，如圖，由于∠CAP=∠OAB，則Rt△APC∽R(shí)t△ABC，得到$\frac{AC}{OA}$=$\frac{AP}{AB}$，再計(jì)算出AB、AC，則可利用比例式計(jì)算出AP，于是可得到OP的長(zhǎng)，從而得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：當(dāng)PC∥OA時(shí)，△BPC∽△BOA，由點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，所以P為OB的中點(diǎn)，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，$\frac{3}{2}$）；
當(dāng)PC∥OB時(shí)，△ACP∽△ABO，由點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，所以P為OA的中點(diǎn)，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）；
當(dāng)PC⊥AB時(shí)，如圖，∵∠CAP=∠OAB，
∴Rt△APC∽R(shí)t△ABC，
∴$\frac{AC}{OA}$=$\frac{AP}{AB}$，
∵點(diǎn)A（4，0）和點(diǎn)B（0，3），
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，
∴AC=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{\frac{5}{2}}{4}$=$\frac{AP}{5}$，
∴AP=$\frac{25}{8}$，
∴OP=OA-AP=4-$\frac{25}{8}$=$\frac{7}{8}$，
此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{7}{8}$，0），
綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，$\frac{3}{2}$），（2，0），（$\frac{7}{8}$，0）．
故答案為（0，$\frac{3}{2}$），（2，0），（$\frac{7}{8}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．也考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．注意分類討論思想解決此題．