Question

14．如圖，已知扇形AOB的半徑為6，圓心角為90°，E是半徑OA上一點，F(xiàn)是$\widehat{AB}$上一點．將扇形AOB沿EF對折，使得折疊后的圓弧$\widehat{A′F}$恰好與半徑OB相切于點G，若OE=5，則O到折痕EF的距離為$\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 過點G作O′G⊥OB，作AO′⊥O′G于O′，如圖，連結(jié)OO′交EF于H，易得四邊形AOGO′為矩形，得到O′G=AO=5，根據(jù)折疊的性質(zhì)得$\widehat{AF}$與$\widehat{A′F}$為等弧，則它們所在圓的半徑相等，再利用經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心得到點O′為$\widehat{A′F}$所在圓的圓心，則可判斷點O與點O′關(guān)于EF對稱，所以O(shè)O′⊥EF，OH=HO′，設(shè)OH=x，則OO′=2x，接著證明Rt△OEH∽Rt△OO′A，然后利用相似比可計算出x．

解答 解：過點G作O′G⊥OB，作AO′⊥O′G于O′，如圖，連結(jié)OO′交EF于H，
則四邊形AOGO′為矩形，
∴O′G=AO=6，
∵$\widehat{AF}$沿EF折疊后所得得圓弧$\widehat{A′F}$恰好與半徑OB相切于點G，
∴$\widehat{AF}$與$\widehat{A′F}$所在圓的半徑相等，
∴點O′為$\widehat{A′F}$所在圓的圓心，
∴點O與點O′關(guān)于EF對稱，
∴OO′⊥EF，OH=HO′，
設(shè)OH=x，則OO′=2x，
∵∠EOH=∠O′OA，
∴Rt△OEH∽Rt△OO′A，
∴$\frac{OH}{OA}$=$\frac{OE}{OO′}$，即$\frac{x}{6}$=$\frac{5}{2x}$，解得x=$\sqrt{15}$，
即O到折痕EF的距離為$\sqrt{15}$．
故答案為$\sqrt{15}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點；經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了折疊的性質(zhì)．