Question

4．如圖，四邊形ABCD為矩形，E是BC延長線上一點(diǎn)，AE交CD于點(diǎn)G，F(xiàn)是AE上一點(diǎn)，并且AC=CF=EF，∠AEB=15°．
（1）求∠ACF的度數(shù)；
（2）證明：矩形ABCD為正方形．

Answer 1

分析 （1）利用矩形的性質(zhì)可得∠DAG=∠AEB=15°，利用外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得∠AFC與∠CAF的度數(shù)，可得∠ACF；
（2）由∠DAG=15°，∠FAC=30°，易得∠DAC=45°，可得∠ACD=∠DAC=45°，由等腰三角形的判定可得AD=CD，由正方形的判定定理證得結(jié)論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD∥BC，∠D=90°，
∴∠DAG=∠AEB=15°，
∵CF=EF，
∴∠FCE=∠AEB=15°，
∴∠AFC=∠FCE+∠AEB=30°，
∵AC=CF，
∴∠FAC=∠AFC=30°，
∴∠ACF=18O°-∠FAC-∠AFC=120°；

（2）由（1）知∠DAG=15°，∠FAC=30°，
∴∠DAC=∠DAG+∠FAC=45°，
∵∠D=90°，
∴∠ACD=∠DAC=45°，
∴AD=CD，
∴矩形ABCD為正方形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了矩形的性質(zhì)和正方形的判定定理，利用角的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．