Question

4．已知線段AB，且A（-8，1）、B（-3，1），另有一線段CD在直線y=-x上，且CD=$\sqrt{2}$，確定D點位置，使A、B、C、D構成的四邊形周長最短，并求D點坐標及這個最小值．

Answer 1

分析 過點B作BE∥DC，取BE=$\sqrt{2}$，則BE=DC，作點E關于y=-x的對稱點E′，連接E′A交y=-x于點D，首先可證明四邊形DCBE為平行四邊形，從而得到BE=DE，然后再求得點E的坐標，根據(jù)點E′與點E對稱可知得到E′的坐標，從而可求得點AE的長度，進而可求得四邊形周長的最小值，再求得直線AE′的解析式，然后再求得兩直線交點的坐標即可．

解答 解：過點B作BE∥DC，取BE=$\sqrt{2}$，則BE=DC，作點E關于y=-x的對稱點E′，連接E′A交y=-x于點D．

∵BE∥CD，BE=DC，
∴四邊形DCBE為平行四邊形．
∴ED=BC．
∵BE=$\sqrt{2}$，
∴EF=1，BF=1．
∵點B的坐標為（-3，1），
∴點E的坐標為（-4，2）．
∵點E′與點E關于y=-x對稱，
∴點E′的坐標為（-2，4）．
設直線AE′的解析式為y=kx+b，根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=4}\\{-8k+b=1}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=5}\end{array}\right.$
∴直線AE′的解析式為y=$\frac{1}{2}x+5$
將y=-x與y=$\frac{1}{2}x+5$組成方程組得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{y=\frac{1}{2}x+5}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{10}{3}}\\{y=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
∴點D的坐標為（-$\frac{10}{3}$，$\frac{10}{3}$）．
根據(jù)兩點間的距離公式得：AE′=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$
∴四邊形周長得最小值=AB+DC+AE′=5+$\sqrt{2}$+3$\sqrt{5}$．

點評 本題主要考查的是軸對稱-路徑最短問題，掌握找出四邊形周長最短滿足的條件是解題的關鍵．