Question

14．如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，已知O是BD的中點，BE=DF，AF∥CE．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；
（2）若OA=OD，則四邊形ABCD是什么特殊四邊形？請證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）根據平行線的性質推出∠AFO=∠CEO，∠FAO=∠ECO，求出OE=OF，證△AOF≌△COE，推出AF=CE，根據平行四邊形的判定推出即可；
（2）根據全等得出OA=OC，求出AC=BD，再根據平行四邊形和矩形的判定推出即可．

解答 （1）證明：∵AF∥CE，
∴∠AFO=∠CEO，∠FAO=∠ECO，
∵O為BD的中點，即OB=OD，BE=DF，
∴OB-BE=OD-DF，即OE=OF，
在△AOF和△COE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFO=∠CEO}\\{∠FAO=∠ECO}\\{OE=OF}\end{array}\right.$
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF=CE，
∵AF∥CE，
∴四邊形AECF是平行四邊形；

（2）若OA=OD，則四邊形ABCD是矩形，
證明：∵△AOF≌△COE，
∴OA=OC，
∵OB=OD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
∵OA=OD，∴OA=OB=OC=OD，即BD=AC，
∴四邊形ABCD為矩形．

點評 本題考查了平行四邊形的性質和判定，矩形的判定，全等三角形的性質和判定的應用，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵，注意：對角線相等的平行四邊形是矩形．