Question

13．已知關(guān)于x的方程mx²-3（m+1）x+2m+3=0（m≠0）．
（1）求證：該方程必有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（2）若該方程有兩個(gè)不相等的整數(shù)根，求整數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）求出△的值，再進(jìn)行判斷即可；
（2）求出方程的兩個(gè)根，再討論即可．

解答 （1）證明：mx²-3（m+1）x+2m+3=0（m≠0），
∵△=[-3（m+1）]²-4m（2m+3）=m²+6m+9=（m+3）²，
∴當(dāng)m≠0時(shí)，△≥0，
即該方程必有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）解：mx²-3（m+1）x+2m+3=0，
x=$\frac{3（m+1）±\sqrt{（m+3）^{2}}}{2m}$，
x₁=2+$\frac{3}{m}$，x₂=1，
要使$\frac{3}{m}$為整數(shù)，整數(shù)m可以為±1，±3，
∵該方程有兩個(gè)不相等的整數(shù)根，
∴整數(shù)m的值是1，-1，3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的判別式和解一元二次方程的應(yīng)用，能正確運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，用了分類(lèi)討論思想．