Question

9．如圖，直線y=x+4與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＜0）交于點A、B，過點B向y軸作垂線，垂足為C，若BC=$\frac{1}{2}$AB，△AOB的面積為3，則k值為-3$\sqrt{2}$+$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 設直線AB與x軸交于M，與y軸交于N，過O作OD⊥AB于D，得到M（-4，0），N（0，4），求得OM=ON=4，推出△MON是等腰直角三角形，根據(jù)三角形的面積得到AB=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，得到BC=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，得到B（-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，$\frac{16-3\sqrt{2}}{4}$），于是得到結(jié)論．

解答 解：設直線AB與x軸交于M，與y軸交于N，
過O作OD⊥AB于D，
在y=x+4中，令x=0，則y=4，令y=0，則x=-4，
∴M（-4，0），N（0，4），
∴OM=ON=4，
∴△MON是等腰直角三角形，
∴OD=$\frac{1}{2}$MN=2$\sqrt{2}$，
∵△AOB的面積為3，
∴AB=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵BC=$\frac{1}{2}$AB，
∴BC=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∵BC⊥y軸，
∴CN=BC=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∴OC=ON-CN=$\frac{16-3\sqrt{2}}{4}$，
∴B（-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，$\frac{16-3\sqrt{2}}{4}$），
∴k=（-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$）×$\frac{16-3\sqrt{2}}{4}$=-3$\sqrt{2}$+$\frac{9}{8}$．
故答案為：-3$\sqrt{2}$+$\frac{9}{8}$．

點評 本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形面積的計算，正確的作出輔助線是解題的關鍵．