Question

2．如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，點(diǎn)P是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且PD⊥AD．
（1）證明：∠BDC=∠PDC；
（2）若AC與BD相交于點(diǎn)E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）直接利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合互余的定義得出∠BDC=∠PDC；
（2）首先過(guò)點(diǎn)C作CM⊥PD于點(diǎn)M，進(jìn)而得出△CPM∽△APD，求出EC的長(zhǎng)即可得出答案．

解答 （1）證明：∵AB=AD，AC平分∠BAD，
∴AC⊥BD，
∴∠ACD+∠BDC=90°，
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∴∠ADC+∠BDC=90°，
∵PD⊥AD，
∴∠ADC+∠PDC=90°，
∴∠BDC=∠PDC；

（2）解：過(guò)點(diǎn)C作CM⊥PD于點(diǎn)M，
∵∠BDC=∠PDC，
∴CE=CM，
∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，
∴△CPM∽△APD，
∴$\frac{CM}{AD}$=$\frac{PC}{PA}$，
設(shè)CM=CE=x，
∵CE：CP=2：3，
∴PC=$\frac{3}{2}$x，
∵AB=AD=AC=1，
∴$\frac{x}{1}$=$\frac{\frac{3}{2}x}{\frac{3}{2}x+1}$，
解得：x=$\frac{1}{3}$，
故AE=1-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，正確得出△CPM∽△APD是解題關(guān)鍵．