Question

16．梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AD=3，CD=4，BC=5，直線MN從AD出發(fā)，始終保持與AD平行，并以每秒1個(gè)單位的速度向BC移動(dòng)，交AB于M，交CD于N，同時(shí)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB方向以每秒2個(gè)單位速度向點(diǎn)B移動(dòng)，當(dāng)P移動(dòng)到B時(shí)，停止運(yùn)動(dòng)，同時(shí)直線MN也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒，△PMN的面積為S．
（1）線段AB的長(zhǎng)度是2$\sqrt{5}$；當(dāng)t=$\frac{4}{5}$時(shí)，PN∥AB．
（2）求面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）是否存在某一時(shí)刻t使得△PMN的面積是梯形ABCD面積的四分之一？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（4）是否存在某一時(shí)刻t使得∠MPN是直角？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）作AE⊥BC，垂足為E，交MN于點(diǎn)F，得出四邊形AECD是矩形，求得AE=4，BE=5-3=2，利用勾股定理求得AB；利用PN∥AB，得出△CPN∽△ABE，建立方程求出t的值；
（2）由△AMF∽△ABE，得到MN，CN=4-t，然后根據(jù)三角形面積公式求解；
（3）當(dāng)△PEF的面積是梯形面積的$\frac{1}{4}$時(shí)，根據(jù)（2）的結(jié)論得到-$\frac{1}{4}$t²-$\frac{1}{2}$t+6=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$×（3+5）×4，然后解一元二次方程即可得到滿足條件的t的值；
（4）假設(shè)∠MPN是直角，由勾股定理求得PN=$\sqrt{5{t}^{2}-8t+16}$，再利用△PNC∽△PMN，利用性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊成比例聯(lián)立方程，方程有根，則成立，無(wú)根不成立．

解答 解：（1）如圖，

作AE⊥BC，垂足為E，交MN于點(diǎn)F，
則AE=CD=4，BE=5-3=2，
AB=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
∵DN=t，PC=2t，
∴NC=DC-DN=4-t，BP=BC-PC=5-2t，
∵PN∥AB，
∴△CPN∽△ABE，
∴$\frac{CP}{BE}$=$\frac{CN}{AE}$，
即$\frac{2t}{2}$=$\frac{4-t}{4}$，
解得t=$\frac{4}{5}$，
即當(dāng)t=$\frac{4}{5}$時(shí)，使PE∥CD；
（2）∵M(jìn)N∥BC，
∴$\frac{MF}{BE}$=$\frac{AF}{AE}$，
即$\frac{MF}{2}$=$\frac{t}{4}$，MF=$\frac{1}{2}$t，
∴MN=$\frac{1}{2}$t+3，
CN=4-t，
∴s=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$t+3）（4-t）
=-$\frac{1}{4}$t²-$\frac{1}{2}$t+6（0≤t≤2.5）；
（3）存在．
當(dāng)△PMN的面積是梯形面積的$\frac{1}{4}$時(shí)，則-$\frac{1}{4}$t²-$\frac{1}{2}$t+6=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$×（3+5）×4，
整理得t²+2t-8=0，
解得t₁=2，t₂=-4（舍去），
所以存在t=2，使△PMN的面積是梯形面積的$\frac{1}{4}$．
（4）不存在某一時(shí)刻t使得∠MPN是直角．
假設(shè)∠MPN是直角．
由勾股定理得PN=$\sqrt{C{P}^{2}+C{N}^{2}}$=$\sqrt{5{t}^{2}-8t+16}$，
∵M(jìn)N∥BC，
∴∠MNP=∠NPC，∠MPN=∠C，
∴△PNC∽△PMN，
∴$\frac{PC}{PN}$=$\frac{PN}{MN}$，
∴5t²-8t+16=2t（$\frac{1}{2}$t+3），
整理得2t²-7t+8=0，
△=7²-4×2×8＜0，此方程無(wú)解，
∴假設(shè)不成立，
也就是不存在某一時(shí)刻t使得∠MPN是直角．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握梯形的性質(zhì)、三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程的解的判定；會(huì)利用相似比和三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算．