Question

13．如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+2的圖象過(guò)A（-1，0）和B（5，-3）兩點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）二次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)為D，點(diǎn)E在第一象限內(nèi)二次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)F在線段CD上，當(dāng)△ACD∽△FDE時(shí)，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題．
（2）令y=0，解方程即可解決．
（3）首先證明△ADC是直角三角形，作DE∥OC交拋物線于E，作EF⊥DE，交CD于F，可以證明△ACD∽△FDE，利用相似三角形的性質(zhì)，列出方程即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx+2的圖象過(guò)A（-1，0）和B（5，-3）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{25a+5b+2=-3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2．

（2）令y=0，則有-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=0，
∴x²-3x-4=0，
∴（x-4）（x+1）=0，
∴x=4或-1，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)（4，0）．

（3）∵OD=2，OA=1，OB=4，
∴OD²=OA•OB，
∴$\frac{OD}{OA}$=$\frac{OB}{OD}$，
∵∠DOA=∠DOC=90°，
∴△DOA∽△COD，
∴∠ADO=∠DCO，
∵∠DCO+∠ODC=90°，
∴∠ADO+∠ODC=90°，
∴∠ADC=90°，
作DE∥OC交拋物線于E，作EF⊥DE，交CD于F．
∵∠EDF=∠ACD，∠DEF=∠ADC，
∴△ACD∽△FDE，
∵點(diǎn)E坐標(biāo)（3，2），
∴DE=3，
∵$\frac{DE}{DC}$=$\frac{EF}{AD}$，
∴$\frac{3}{2\sqrt{5}}$=$\frac{EF}{\sqrt{5}}$，
∴EF=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的綜合題、待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)△ADC是直角三角形，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．