Question

15．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（2m-4）x+m²-4m+3=0．
（1）求證：不論m取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根一個(gè)小于2，另一個(gè)大于2，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）要證明方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根就是證明其判別式永遠(yuǎn)都是一個(gè)正數(shù)；
（2）先求出原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，根據(jù)兩個(gè)實(shí)數(shù)根一個(gè)大于2，另一個(gè)小于2，列出不等式組，求出m的取值范圍．

解答 （1）證明：∵△=[-（2m-4）]²-4（m²-4m+3）=4m²-16m+16-4m²+16m-12=4＞0，
∴不論m取何值，方程都有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根；

（2）解：∵x²-（2m-4）x+m²-4m+3=0，
∴（x-m+1）（x-m+3）=0，
∴x₁=m-1，x₂=m-3．
則由題意，得$\left\{\begin{array}{l}{m-1＞2}\\{m-3＜2}\end{array}\right.$，
解得3＜m＜5．
即m的取值范圍是3＜m＜5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一元二次方程根的判別式，△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；△＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．同時(shí)考查了因式分解法解一元二次方程及解一元一次不等式組．