Question

19．已知二次函數(shù)y=$\frac{1}{2}{x^2}$+bx的圖象過(guò)點(diǎn)A（4，0），設(shè)點(diǎn)C（1，-3），在拋物線的對(duì)稱軸上求一點(diǎn)P，使|PA-PC|的值最大，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-6）．

Answer 1

分析 先把A（4，0）代入y=$\frac{1}{2}{x^2}$+bx，求出b的值，得到二次函數(shù)解析式，再根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求出二次函數(shù)y=$\frac{1}{2}{x^2}$-2x與x軸的另一交點(diǎn)是O（0，0），由A、O關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，則可知PA=PO，則當(dāng)P、O、C三點(diǎn)在一條線上時(shí)滿足|PA-PC|最大，利用待定系數(shù)法可求得直線OC解析式，則可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：∵二次函數(shù)y=$\frac{1}{2}{x^2}$+bx的圖象過(guò)點(diǎn)A（4，0），
∴0=$\frac{1}{2}$×4²+4b，解得b=-2，
∴y=$\frac{1}{2}{x^2}$-2x，
∴對(duì)稱軸為x=$\frac{2}{2×\frac{1}{2}}$=2，
∵二次函數(shù)y=$\frac{1}{2}{x^2}$-2x與x軸交于點(diǎn)A（4，0），
∴它與x軸的另一交點(diǎn)是O（0，0），
∵P在對(duì)稱軸上，
∴PA=PO，
∴|PA-PC|=|PO-PC|≤OC，即當(dāng)P、O、C三點(diǎn)在一條線上時(shí)|PA-PC|的值最大，
設(shè)直線OC解析式為y=kx，
∴k=-3，
∴直線OC解析式為y=-3x，
令x=2，可得y=-3×2=-6，
∴存在滿足條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（2，-6）．
故答案為（2，-6）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)．求出二次函數(shù)y=$\frac{1}{2}{x^2}$-2x與x軸的另一交點(diǎn)是O（0，0），得出P、O、C三點(diǎn)共線時(shí)|PA-PC|的值最大是解題的關(guān)鍵．