Question

19．如圖，正方形ABCD的面積為20，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CF⊥BE于F，連接OF，則OF的長為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 在BE上截取BG=CF，連接OG，證明△OBG≌△OCF，則OG=OF，∠BOG=∠COF，得出等腰直角三角形GOF，在Rt△BCE中，根據(jù)射影定理求得GF的長，即可求得OF的長．

解答 解：如圖，在BE上截取BG=CF，連接OG，
∵Rt△BCE中，CF⊥BE，
∴∠EBC=∠ECF，
∵∠OBC=∠OCD=45°，
∴∠OBG=∠OCF，
在△OBG與△OCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{∠OBG=∠OCF}\\{BG=CF}\end{array}\right.$，
∴△OBG≌△OCF（SAS），
∴OG=OF，∠BOG=∠COF，
∴OG⊥OF，
在RT△BCE中，BC=DC=2$\sqrt{5}$，DE=EC=$\sqrt{5}$，
∴BE=$\sqrt{B{C}^{2}+C{E}^{2}}$=5，
∵BC²=BF•BE，
則（2$\sqrt{5}$）²=BF•5，解得：BF=4，
∴EF=BE-BF=5-4=1，
∵CF²=BF•EF=4，
∴CF=2，
∴GF=BF-BG=BF-CF=4-2=2，
在等腰直角△OGF中
OF²=$\frac{1}{2}$GF²，
∴OF=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．