Question

6．如圖1，在梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，AD=2，AB=3，BC=8，點F是線段DC的中點，點G是線段DF上的一個動點（不與點F重合），連接BG并延長線段AD延長線于點P．
（1）若AB+DP=BP，求PD的長．
（2）如圖2，點E是BP的中點．
①若設DP=x，EF=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式并寫出定義域．
②連接DE和PF，若DE=PF，求PD的長．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABP中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題；
（2）①如圖2中，連接DE并延長交BC于點H．只要證明線段EF 是△DHC的中位線即可解決問題；
②分兩種情形（Ⅰ）當四邊形DEPF是平行四邊形時．（Ⅱ）當四邊形DEPF是等腰梯形時，方程構(gòu)建方程即可解決問題；

解答 解：（1）∵AB+DP=BP，AB=3，
∴BP=3+DP，
∵∠A=90°，AB=3，AD=2，
∴BP²=AB²+AP²，
∴（3+DP）²=9+（2+DP）²，
∴DP=2，
∴PD的長為2．

（2）如圖2中，連接DE并延長交BC于點H．

①∵E是BP的中點，
∴BE=PE，
∵AP∥BC，
∴∠DPE=∠PBH，
∵∠DEP≌△HEB，
∴DE=EH，BH=DP=x，
∴CH=8-x，
∵F是線段DC的中點，
∴EF=$\frac{1}{2}$CH=$\frac{1}{2}$（8-x），
∴y=-$\frac{1}{2}$x+4（0≤x＜8）．

②∵DP∥EF，DE=PF．
（Ⅰ）當四邊形DEPF是平行四邊形時，

∴DP=EF，
∴x=-$\frac{1}{2}$x+4，
∴x=$\frac{8}{3}$，
∴PD的長為$\frac{8}{3}$．

（Ⅱ）當四邊形DEPF是等腰梯形時，

∵DE=EF，
∴EP=DF，
∵E、F是BP、CD的中點，
∴BP=DC，過點D作DM⊥BC于M．
∴四邊形ABMD是矩形，
∴BM=AD=2，
∴CN=6，
在Rt△DCM中，CD=$\sqrt{D{M}^{2}+C{M}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
在Rt△ABP中，BP=$\sqrt{A{B}^{2}+A{P}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（x+2）^{2}}$，
∴3$\sqrt{5}$=$\sqrt{{3}^{2}+（x+2）^{2}}$，
解得x=4和-8（舍棄），
經(jīng)檢驗x=4是原方程的解且符合題意，
∴PD的長為4，
綜上所述，PD的長為$\frac{8}{3}$或4．

點評 本題考查四邊形綜合題、三角形中位線定理、勾股定理、等腰梯形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，把四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，屬于中考壓軸題．