Question

6．如圖所示，AB是半圓O的直徑，過點(diǎn)A、B分別作弦AC與BD相交于點(diǎn)E，又過C、D兩點(diǎn)引圓的切線交于點(diǎn)P，連結(jié)PE，試證：PE⊥AB．

Answer 1

分析 連接AD、BC并延長相交于Q，根據(jù)圓周角定理證得AC、BD是三角形ABQ兩條邊上的高，從而證得點(diǎn)E是三角形ABQ的三條高的交點(diǎn)，連接QE，則QE⊥AB，取QE中點(diǎn)F，連接FD和FC，OD和OC，然后證得P和F是同一點(diǎn)即可．

解答 解：連接AD、BC并延長相交于Q，
∵AB是直徑，
∴AC、BD是三角形ABQ兩條邊上的高，
∴點(diǎn)E是三角形ABQ的三條高的交點(diǎn)，
連接QE，則QE⊥AB，
取QE中點(diǎn)F，連接FD和FC，OD和OC，則FD=$\frac{1}{2}$QE=FQ
∴∠QDF=∠DQF
∵∠DQF+∠QAB=90°，∠DBA+∠QAB=90°，OA=OD，
∴QAB=∠ODB，
∴∠QDF=∠DQF=∠DBA=∠ODB
∴∠ODF=∠ODB+∠FDE=∠QDF+∠FDE=90°，即OD⊥DF，
同理可證OC⊥CF
∴DF和CF就是經(jīng)過D、C兩點(diǎn)的圓O的切線，
∴F點(diǎn)和P點(diǎn)重合，
∴PE⊥AB．

點(diǎn)評 本題考查了圓周角定理，三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形的性質(zhì)以及切線的判定作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．