Question

8．請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：
阿基米德是有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家之一，阿基米德的折弦定理是其推導(dǎo)出來的重要定理之一．
阿基米德折弦定理：如圖，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是⊙O的一條折弦），BC＞AB，M是$\widehat{ABC}$的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=AB+BD．下面是運(yùn)用“截長法”證明CD=AB+BD的部分證明過程．
證明：如圖，在CB上截取CG=AB，連接MA，MB，MC和MG．
∵M(jìn)是$\widehat{ABC}$的中點(diǎn)，
∴MA=MC．
…
請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分．

Answer 1

分析 首先證明△MBA≌△MGC（SAS），進(jìn)而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出BD=GD，即可得出答案．

解答 解：如圖，在CB上截取CG=AB，連接MA，MB，MC和MG．
∵M(jìn)是$\widehat{ABC}$的中點(diǎn)，
∴MA=MC．
在△MBA和△MGC中$\left\{\begin{array}{l}{BA=GC}\\{∠A=∠C}\\{MA=MC}\end{array}\right.$，
∴△MBA≌△MGC（SAS），
∴MB=MG，
又∵M(jìn)D⊥BC，
∴BD=GD，
∴DC=GC+GD=AB+BD．

點(diǎn)評 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形以及等邊三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線利用全等三角形的判定與性質(zhì)解題是解題關(guān)鍵．