Question

11．已知△ABC中，∠B=90°，D、E分別是BC、AC的中點(diǎn)，AB=4，BC=8，當(dāng)△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到A，E、D在同一直線上，求線段AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 如圖1，當(dāng)△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BAC的度數(shù)時(shí)，A，E、D在同一直線上，
如圖2，當(dāng)△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，A，E、D在同一直線上，
分別求AE的長(zhǎng)即可．

解答 解：如圖1，A，E、D在同一直線上，
∵BC=8，D′是BC的中點(diǎn)，
∴CD′=4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
由旋轉(zhuǎn)得：∠AEC=90°，CE=CD′=4，
在Rt△AEC中，AE=$\sqrt{A{C}^{2}-E{C}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{5}）^{2}-{4}^{2}}$=8；
如圖2，A，E、D在同一直線上，則∠ADC=90°，CD=CD′=4，
∵D′、E′分別是BC、AC的中點(diǎn)，
∴D′E′=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴DE=D′E′=2，
在Rt△ADC中，AD=$\sqrt{（4\sqrt{5}）^{2}-{4}^{2}}$=8，
∴AE=AD+DE=8+2=10；
綜上所述，線段AE的長(zhǎng)是8或10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形中位線定理、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，本題能根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫(huà)出圖形是關(guān)鍵，注意不要丟解．