Question

16．如圖，△A₁BC一個內(nèi)角的平分線和一個外角的平分線相交得到點A₂，△A₂BC的內(nèi)外角平分線相交，得到點A₃，…，用∠A表示∠A₂₀₁₅．

Answer 1

分析 由三角形的外角性質(zhì)知：∠A=∠ACD-∠ABC，而∠A₁=$\frac{1}{2}$（∠ACD-∠ABC），即∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，同理可得，∠A₂=$\frac{1}{2}$∠A₁，依此類推即可．

解答 解：△ABC中，∵∠A=∠ACD-∠ABC，A₁是∠ABC角平分與∠ACD的平分線的交點，
∴∠A₁=∠A₁CD-∠A₁BC=$\frac{1}{2}$（∠ACD-∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A；
同理可得，∠A₂=$\frac{1}{2}$∠A₁=$\frac{1}{{2}^{2}}$∠A，
∠A₃=$\frac{1}{2}$∠A₂=$\frac{1}{{2}^{3}}$∠A，
…
依此類推，∠A_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$∠A．
則∠A₂₀₁₅=$\frac{1}{{2}^{2015}}$∠A．

點評 本題考查的是三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的內(nèi)角和是180°和三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解答此題的關鍵．