Question

19．在某節(jié)習(xí)題課上．老師在黑板上寫下了關(guān)于x的二次函數(shù)y=kx²+（k+1）x+2-4k．
（1）某兩位同學(xué)經(jīng)過思考，對上述的二次函數(shù)進行了如下的總結(jié)：
①該二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1，3）；
②當(dāng)k＜0時，該二次函數(shù)的圖象與y軸的正半軸有交點；
請你判斷上面兩條結(jié)論是真命題還是假命題，并說明理由；
（2）若二次函數(shù)y=k^x2+（k+1）x+2-4k的圖象如圖所示，該函數(shù)圖象經(jīng)過點B（-3，1），且與y軸交于點A，與x軸的負半軸交于點C，D為圖象的頂點．
①求∠BAD的度數(shù)；
②點M在第三象限，且點M在二次函數(shù)圖象上，連接OM，若∠ABD=∠MOC，求點M的橫坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）①將（1，3）點代入函數(shù)，解出k的值即可作出判斷；
②根據(jù)當(dāng)k＜0時，2-4k＞0，即可判斷；
（2）①將點B（-3，1）代入y=kx²+（k+1）x+2-4k，即可得出k的值，從而得出二次函數(shù)的解析式，即可得出點A、C、D的坐標(biāo)，求得AB，AD，BD的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理即可得出∠BAD的度數(shù)；
②設(shè)點M的坐標(biāo)（x_M，y_M），根據(jù)∠ABD=∠MOC，即可得出tan∠ABD的值，從而得出點M的橫坐標(biāo)．

解答 解：（1）①假命題；將（1，3）代入可得：2k-（4k+1）-k+1=3，
解得：k=0．所以是假命題；
②是真命題，
理由：∵二次函數(shù)y=kx²+（k+1）x+2-4k的圖象與y軸的交點為（0，2-4k），
當(dāng)k＜0，時，2-4k＞0，
∴二次函數(shù)的圖象與y軸的正半軸有交點；
（2）由二次函數(shù)y=kx²+（k+1）x+2-4k可知A（0，2-4k），D（-$\frac{k+1}{2k}$，$\frac{4k（2-4k）-（k+1）^{2}}{4k}$），
∵B（-3，1）在二次函數(shù)y=kx²+（k+1）x+2-4k的圖象上，
∴9k-3（1-4k）+2-4k=1，
解得k=1，
∴拋物線的解析式為y=x²+2x-2，
∴A（0，-2），D（-1，-3）
∴AB=3$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{2}$，BD=2$\sqrt{5}$，
∵（3$\sqrt{2}$^）2+$\sqrt{2}$²=（2$\sqrt{5}$）²，
∴AB²+AD²=BD²，
∴△ABD為Rt△，
∴∠BAD=90°；
②設(shè)點M的坐標(biāo)（x_M，y_M），
∵∠ABD=∠MOC，
∴tan∠ABD=tan∠MOC，
∵tan∠ABD=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∴tan∠MOC=$\frac{|yM|}{|xM|}$=$\frac{-{y}_{M}}{-{x}_{M}}$=$\frac{1}{3}$，
∴x_M=3y_M，
∴y_M=$\frac{1}{3}$x_M，
∵點M在二次函數(shù)圖象上，
∴$\frac{1}{3}$x=x²+2x-2，
解得x=$\frac{-5±\sqrt{97}}{6}$，
∵點M在第三象限，
∴x＜0，
∴x=$\frac{-5-\sqrt{97}}{6}$，
∴點M的橫坐標(biāo)$\frac{-5-\sqrt{97}}{6}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題，還考查了點與函數(shù)的關(guān)系，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及三角函數(shù)、勾股定理的逆定理等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．