Question

17．已知拋物線y=a（x+1）（x-$\frac{3}{a}$）與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，則能使△ABC為等腰三角形的a的值有（　�。�

• A． 2個
• B． 3個
• C． 4個
• D． 5個

Answer 1

分析 整理拋物線解析式，確定出拋物線與x軸的一個交點A和y軸的交點C，然后求出AC的長度，再分①a＞0時，點B在x軸正半軸時，分AC=BC、AC=AB、AB=BC三種情況求解；②a＜0時，點B在x軸的負半軸時，點B只能在點A的左邊，只有AC=AB一種情況列式計算即可．

解答 解：解法1：y=a（x+1）（x-$\frac{3}{a}$）=（x+1）（ax-3），
所以，拋物線經(jīng)過點A（-1，0），C（0，-3），
AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{1+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
點B坐標為（$\frac{3}{a}$，0），
①k＞0時，點B在x正半軸上，
若AC=BC，則$\sqrt{（\frac{3}{a}）^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{10}$，解得a=3，
若AC=AB，則$\frac{3}{a}$+1=$\sqrt{10}$，解得a=$\frac{\sqrt{10}+1}{3}$，
若AB=BC，則 $\frac{3}{a}$+1=$\sqrt{（\frac{3}{a}）^{2}+{3}^{2}}$，解得a=$\frac{3}{4}$；
②k＜0時，點B在x軸的負半軸，點B只能在點A的左側(cè)，
只有AC=AB，則-1-$\frac{3}{a}$=$\sqrt{10}$，解得a=-$\frac{\sqrt{10}-1}{3}$，
所以，能使△ABC為等腰三角形的a的值有4個．
解法2：易得拋物線一定過兩個定點：（-1，0），（0，-3），連接這兩個定點，得到一條線段，以這條線段為底邊可以在橫軸上找一點構(gòu)成等腰三角形，以這條線段為腰，分別以兩個定點為頂點可以在橫軸上找到三個點構(gòu)成等腰三角形，所以共有四個點可以與定點構(gòu)成等腰三角形，從而可以確定四個形狀不同的拋物線，所以a有四個值．
故選C．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點問題，根據(jù)拋物線的解析式確定出拋物線經(jīng)過的兩個定點是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論，此題有一定的難度．