Question

13．如圖1，四邊形ABCD是正方形，AB=4，點(diǎn)G在BC邊上，BG=3，DE⊥AG于點(diǎn)E，BF⊥AG于點(diǎn)F．
（1）求BF和DE的長(zhǎng)；
（2）如圖2，連接DF、CE，探究并證明線段DF與CE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）如圖1，先利用勾股定理計(jì)算出AG=5，再利用面積法和勾股定理計(jì)算出BF=$\frac{12}{5}$，AF=$\frac{16}{5}$，然后證明△ABF≌△DAE得到DE=AF=$\frac{16}{5}$；
（2）作CH⊥DE于H，如圖2，先利用△ABF≌△DAE得到AE=BF=$\frac{12}{5}$，則EF=$\frac{4}{5}$，與（1）的證明方法一樣可得△CDH≌△DAE，則CH=DE=$\frac{16}{5}$，DH=EF=$\frac{12}{5}$，EH=DE-DH=$\frac{4}{5}$，于是可判斷EH=EF，接著證明△DEF≌△CHE，所以DF=CE，∠EDF=∠HCE，然后利用三角形內(nèi)角和得到∠3=∠CHD=90°，從而判斷DF⊥CE．

解答 解：（1）如圖1，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB=4，∠BAD=90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED=∠BFA=90°，
在Rt△ABG中，AG=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵$\frac{1}{2}$•AG•BF=$\frac{1}{2}$•AB•BG，
∴BF=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
∴AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
∵∠BAF+∠ABF=90°，∠BAF+∠DAE=90°，
∴∠ABF=∠DAE，
在△ABF和△DAE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BFA=∠AED}\\{∠ABF=∠DAE}\\{AB=DA}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE，
∴DE=AF=$\frac{16}{5}$；
（2）DF=CE，DF⊥CE．理由如下：
作CH⊥DE于H，如圖2，
∵△ABF≌△DAE，
∴AE=BF=$\frac{12}{5}$，
∴EF=AF-AE=$\frac{4}{5}$，
與（1）的證明方法一樣可得△CDH≌△DAE，
∴CH=DE=$\frac{16}{5}$，DH=EF=$\frac{12}{5}$，
∴EH=DE-DH=$\frac{4}{5}$，
∴EH=EF，
在△DEF和△CHE中
$\left\{\begin{array}{l}{DE=CH}\\{∠DEF=∠CHE}\\{EF=HE}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△CHE，
∴DF=CE，∠EDF=∠HCE，
∵∠1=∠2，
∴∠3=∠CHD=90°，
∴DF⊥CE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．解決問題的關(guān)鍵是利用三角形全等證明線段相等．