Question

10．（1）已知：如圖1，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AB，CD邊上，BE=DF，連接CE，AF．求證：AF=CE．
（2）如圖2，AB切⊙O于點B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA．求：劣弧BC的長．（結果保留π）

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質得DC∥AB，DC=AB，由于DF=BE，則CF=AE，于是可判斷四邊形AFCE是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質得AF=CE；
（2）連接OC，OB，如圖，根據(jù)切線的性質得∠ABO=90°，在Rt△ABO中利用含30度的直角三角形三邊的關系得到OB=$\frac{1}{2}$OA=1，且∠AOB=60°，再利用BC∥OA得到∠OBC=∠AOB=60°，則可判斷△BOC為等邊三角形，所以∠BOC=60°，然后利用弧長公式計算劣弧BC的長．

解答 （1）證明：如圖：

∵四邊形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，DC=AB，
∴CF∥AE，
∵DF=BE，
∴CF=AE，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∴AF=CE；
（2）解：連接OC，OB，如圖，

∵AB為圓O的切線，
∴∠ABO=90°，
在Rt△ABO中，∵OA=2，∠OAB=30°，
∴OB=$\frac{1}{2}$OA=1，∠AOB=60°，
∵BC∥OA，
∴∠OBC=∠AOB=60°，
而OB=OC，
∴△BOC為等邊三角形，
∴∠BOC=60°，
∴劣弧BC的長=$\frac{60•π•1}{180}$=$\frac{1}{3}$π．

點評 本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點；經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．也考查了矩形的性質、平行四邊形的判定與性質和弧長公式．