Question

4．如圖，△ABC，∠ACB=90°，⊙I與△ABC的AC邊、BA和BC的延長線分別相切于點(diǎn)F、E、D，
（1）連接ID、IF，求證：四邊形CDIF為正方形；
（2）若∠B=50°，連接AI、CI，求∠AIC的度數(shù)；
（3）若AB=5，BC=3，求⊙I的半徑．

Answer 1

分析 （1）利用切線的性質(zhì)得出∠IFC=∠FCD=∠IDC=90°，進(jìn)而利用正方形的判定方法得出答案；
（2）利用切線長定理結(jié)合切線的性質(zhì)得出∠AIC=$\frac{1}{2}$∠EID，再利用四邊形內(nèi)角和定理求出即可；
（3）利用切線長定理結(jié)合BE=5+4-x，BD=3+x，求出即可．

解答 （1）證明：如圖所示：連接ID、IF，
∵∠ACB=90°，⊙I與△ABC的AC邊、BA和BC的延長線分別相切于點(diǎn)F、E、D，
∴FC=DC，AF=AE，∠IFC=∠FCD=∠IDC=90°，
∴四邊形CDIF為正方形；

（2）解：如圖所示：連接AI、CI，EI，
∵⊙I與△ABC的AC邊、BA和BC的延長線分別相切于點(diǎn)F、E、D，
∴∠IFC=∠IEA=∠IDC=90°，∠EAI=∠FAI，
∴∠EIA=∠FIA，
同理可得：∠FIC=∠DIC，
∴∠AIC=$\frac{1}{2}$∠EID，
∵∠B=50°，
∴∠EID=130°，
∴∠AIC=65°；

（3）解：∵AB=5，BC=3，∠BCA=90°，
∴AC=4，設(shè)⊙I的半徑為：x，
由（1）得：FC=CD=DI=x，
故AF=AE=4-x，
則BE=5+4-x，BD=3+x，
即5+4-x=3+x，
解得：x=3，
即⊙I的半徑為：3．

點(diǎn)評 此題主要考查了正方形的判定以及切線的性質(zhì)和切線長定理等知識，熟練應(yīng)用切線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．