Question

16．拋物線y=ax²+bx+3與y軸交于點(diǎn)B，與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A、C（點(diǎn)A在C的左側(cè)），C（-1，0），tan∠ABC=$\frac{1}{2}$，求拋物線的解析式．

Answer 1

分析 由拋物線的解析式求得B的坐標(biāo)，得出OB=3，根據(jù)勾股定理求得BC，作CE⊥AB于E，根據(jù)tan∠ABC=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{2}$，得出BE=2CE，根據(jù)勾股定理求得CE=$\sqrt{2}$，BE=2$\sqrt{2}$，設(shè)AC=x，AE=y，根據(jù)勾股定理AC²=AE²+CE²，即x²=y²+（$\sqrt{2}$）²，根據(jù)三角形面積得出S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•OB=$\frac{1}{2}$•x•3=$\frac{1}{2}$（y+2$\sqrt{2}$）×$\sqrt{2}$，聯(lián)立方程，即可求得AC的長，從而求得A的坐標(biāo)，然后，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式．

解答 解：∵拋物線y=ax²+bx+3與y軸交于點(diǎn)B，
∴B（0，3），
∴OB=3，
∵C（-1，0），
∴OC=1，
∴BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
作CE⊥AB于E，
∵tan∠ABC=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
∴BE=2CE，
∵CE²+BE²=BC²，
∴5CE²=10，
∴CE=$\sqrt{2}$，BE=2$\sqrt{2}$，
設(shè)AC=x，AE=y，
∵AC²=AE²+CE²，即x²=y²+（$\sqrt{2}$）²，S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•OB=$\frac{1}{2}$•x•3=$\frac{1}{2}$（y+2$\sqrt{2}$）×$\sqrt{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}={y}^{2}+2}\\{3x=\sqrt{2}（y+2\sqrt{2}）}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=\sqrt{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{10}{7}}\\{{y}_{2}=\frac{\sqrt{2}}{7}}\end{array}\right.$，
∴A₁（3，0）或A₂（$\frac{17}{7}$，0），
把A（-3，0），C（-1，0）代入y=ax²+bx+3得$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+3=0}\\{a-b+3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=x²+4x+3；
把A（$\frac{17}{7}$，0），C（-1，0）代入y=ax²+bx+3得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{289}{49}a+\frac{17}{7}b+3=0}\\{a-b+3=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{21}{17}}\\{b=\frac{72}{17}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{21}{17}$x²+$\frac{72}{17}$x+3；
故拋物線的解析式為y=x²+4x+3或y=$\frac{21}{17}$x²+$\frac{72}{17}$x+3．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，直角三角函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，三角形面積的應(yīng)用，待定系數(shù)法求拋物線的解析式等，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．