Question

13．如圖，直線y=-2x+b與雙曲線y=$\frac{3}{x}$（x＞0）交于A，B兩點(diǎn)，與x軸、y軸分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連結(jié)OA，OB，若S_△OBF+S_△OAE=4S_△AOB，則b的值是5．

Answer 1

分析 由一次函數(shù)的解析式求出與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，得到線段的長(zhǎng)度，通過作輔助線構(gòu)造相似三角形，得到比例式，聯(lián)立方程組得到一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，得出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)之間的關(guān)系，根據(jù)比例式求得A的坐標(biāo)，橫縱坐標(biāo)的積等于3，列方程求解．

解答 解：在y=-2x+b中，令y=0，則x=$\frac{2}$，令x=0，則y=b，
∴E（$\frac{2}$，0），F(xiàn)（0，b），
∴OE=$\frac{2}$，OF=b，
過點(diǎn)A作AN⊥OE于N，
∴△AEN∽△EFO，
∴$\frac{AE}{EF}$=$\frac{EN}{OE}$=$\frac{AN}{OF}$，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+b}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$得2x²-bx+3=0，
∴x₁•x₂=$\frac{3}{2}$，∴y₁•y₂=6，
∴y₁=2x₂，y₂=2x₁，
∵S_△OBF=$\frac{1}{2}$•OF•x₂=$\frac{1}{2}$•bx₂，S_△AOE=$\frac{1}{2}$OE•y₁=$\frac{1}{2}$$•\frac{2}$•2x₂，
∴S_△BOF=S_△AOE，∴AE=BF，
∵S_△OBF+S_△OAE=4S_△AOB，
∴AE=BF=2AB，
∴$\frac{AE}{EF}$=$\frac{2}{5}$，
∴NA=$\frac{2b}{5}$，EN=$\frac{5}$，∴ON=$\frac{3b}{10}$，
∴A（$\frac{3b}{10}$，$\frac{2b}{5}$），
∴$\frac{3b}{10}$$•\frac{2b}{5}$=3，
∴b=5，
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用反比例函數(shù)和一次函數(shù)的知識(shí)和三角形的面積，求解析式中的字母的值，相似三角形的判定和性質(zhì)，方程的根與系數(shù)的關(guān)系．