Question

15．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，請利用線段之比可轉(zhuǎn)化為面積之比的思路方法，求證：$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$．

Answer 1

分析 過點(diǎn)C作CE∥AB與AD的延長線相交于點(diǎn)E，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠BAD=∠E，然后求出△ABD和△ECD相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得$\frac{BD}{CD}$=$\frac{AB}{CE}$，根據(jù)角平分線的定義可得∠BAD=∠CAD，再求出∠CAD=∠E，根據(jù)等角對等邊可得AC=CE，從而得證．

解答 如圖，過點(diǎn)C作CE∥AB與AD的延長線相交于點(diǎn)E，則∠BAD=∠E，
∵∠ADB=∠EDC，
∴△ABD∽△ECD，
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{AB}{CE}$，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠E，
∴AC=CE，
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{AB}{AC}$．

點(diǎn)評 本題考查了角平分線，相似三角形的判定與性質(zhì)，主要利用了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，等高的三角形的面積的比等于底邊的比的證明，難點(diǎn)在于（2）作輔助線構(gòu)造出相似三角形和等腰三角形．