Question

6．如圖，在△ABC中，D是AB邊的中點(diǎn)，PD⊥AB交∠ACB的平分線與點(diǎn)P，PM⊥AC于點(diǎn)M，PN⊥BC交CB的延長線于點(diǎn)N．
求證：CM=CN=$\frac{1}{2}$（AC+BC）

Answer 1

分析 連接AP，BP，易證PM=PN和AP=BP，即可證明RT△APM≌RT△BPN和RT△CPM≌RT△CPN，可得AM=BN和CM=CN，即可解題．

解答 證明：連接AP，BP，
∵CP是∠ACB平分線，
∴PM=PN，
∵PD⊥AB，D是AB中點(diǎn)，
∴AP=BP，
在RT△APM和RT△BPN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=BP}\\{PM=PN}\end{array}\right.$，
∴RT△APM≌RT△BPN（HL），
∴AM=BN，
在RT△CPM和RT△CPN中，
$\left\{\begin{array}{l}{CP=CP}\\{PM=PN}\end{array}\right.$，
∴RT△CPM≌RT△CPN（HL），
∴CM=CN，
∵CN=BC+BN，CM=AC-AM
∴CM=CN=$\frac{1}{2}$（BC+BN+AC-AM）=$\frac{1}{2}$（BC+AC）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證RT△APM≌RT△BPN和RT△CPM≌RT△CPN是解題的關(guān)鍵．