Question

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-1，1），B（-3，1），C（-1，4）．
（1）△ABC的內(nèi)切圓的半徑為$\frac{5-\sqrt{13}}{2}$；
（2）將△ABC繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A₁BC₁，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出△A₁BC₁，并求出線段AC旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積（結(jié)果保留π）．

Answer 1

分析 （1）先利用勾股定理計(jì)算出BC，然后直角三角形的內(nèi)切圓的半徑=$\frac{a+b-c}{2}$（a、b為直角邊，c為斜邊）求解；
（2）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫圖，然后根據(jù)扇形面積公式，利用線段AC旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積=S_扇形CBB1+S_△BA1C1-S_△BAC-S_扇形ABA1=S_扇形CBB1-S_扇形ABA1進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：（1）AB=2，AC=3，BC=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
所以△ABC的內(nèi)切圓的半徑=$\frac{2+3-\sqrt{13}}{2}$=$\frac{5-\sqrt{13}}{2}$；
故答案為$\frac{5-\sqrt{13}}{2}$；
（2）如圖，△A₁BC₁為所作；

∵△ABC繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A₁BC₁，
∴S_△BA1C1=S_△BAC，
線段AC旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積=S_扇形CBB1+S_△BA1C1-S_△BAC-S_扇形ABA1
=S_扇形CBB1-S_扇形ABA1
=$\frac{90•π•（\sqrt{13}）^{2}}{360}$-$\frac{90•π•{2}^{2}}{360}$=$\frac{9}{4}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角；記住直角三角形的內(nèi)切圓的半徑=$\frac{a+b-c}{2}$（a、b為直角邊，c為斜邊）；也考查了旋轉(zhuǎn)變換和扇形的面積公式．