Question

8．如圖，將邊長為3的正方形ABCO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交線段OC于點(diǎn)G，ED的延長線交線段BC于點(diǎn)P，連AP、AG．
（1）求證：△AOG≌△ADG；
（2）求∠PAG的度數(shù)；
（3）當(dāng)∠1=∠2時(shí)，求OG的長．

Answer 1

分析 （1）由正方形得出邊相等，角為90°，再根據(jù)HL即可證明△AOG≌△ADG；
（2）由△AOG≌△ADG和△ADP≌△ABP，得出對(duì)應(yīng)角相等，即可得出結(jié)果；
（3）根據(jù)三角形全等得出角相等，證出∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°，得出∠1=∠2=30°，根據(jù)三角函數(shù)求出OG的長．

解答 （1）證明：∵正方形ABCO≌正方形ADEF，
∴∠AOG=∠ADG=90°，OA=AD，
在Rt△AOG和Rt△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AG}\\{OA=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△AOG≌Rt△ADG（HL）；
（2）解：由（1）同理可證△ADP≌△ABP，則∠DAP=∠BAP，
∵△AOG≌△ADG，
∴∠1=∠DAG，
又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，
∴2∠DAG+2∠DAP=90°，
即∠DAG+∠DAP=45°．
∴∠PAG=∠DAG+∠DAP=45°；
（3）解：∵△AOG≌△ADG，
∴∠AGO=∠AGD．
又∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2，
∴∠AGO=∠AGD=∠PGC，
又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，
∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60°．
∴∠1=∠2=30°，
在Rt△AOG中，AO=3，OG=AOtan30°=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．